MathLabs

国際数学オリンピック · 1970年

問題

  1. 第1問三角形ABCABCの辺ABAB上に点MMをとる。r1,r2,rr_1,r_2,rをそれぞれ三角形AMCAMC、BMCBMC、ABCABCの内接円の半径とする。またq1,q2,qq_1,q_2,qを、それぞれ∠ACB\angle ACBの内部にある同じ三角形の傍接円の半径とする。r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rqを証明せよ。解答: 2
  2. 第2問a,b,n>1a,b,n>1を整数とし、a,ba,bを二つの記数法の底とする。同じ数字列xn,…,x0x_n,\ldots,x_0（xn≠0x_n\ne0、xn−1≠0x_{n-1}\ne0）を用い、底aaでAn=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0、底bbでBn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0と定める。An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}であることとa>ba>bであることが同値であることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問1=a0≤a1≤a2≤⋯1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdotsを満たす実数列を考える。bn=∑k=1n(1−ak−1ak)1akb_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}と定める。(a)すべてのnnで0≤bn<20\le b_n<2を示せ。(b)任意の数bbが0≤b<20\le b<2を満たすとき、bn>bb_n>bとなるnnが無限に存在する数列を構成せよ。解答: 1
  4. 第4問集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}を、各部分の積が等しくなるよう二つの互いに素な集合に分割できる正整数nnをすべて求めよ。解答: 2
  5. 第5問四面体 ABCDABCD で ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ とする。DD から平面 ABCABC への垂線の足 HH が △ABC\triangle ABC の3本の高さの交点であるとする。(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2) を証明し、等号成立条件を求めよ。解答: 1
  6. 第6問平面上に、3点が一直線上にない 100100 個の点がある。これらを頂点とするすべての三角形を考える。そのうち鋭角三角形は 70%70\% 以下であることを証明せよ。解答: 1