MathLabs

第2問

a,b,n>1a,b,n>1を整数とし、a,ba,bを二つの記数法の底とする。同じ数字列xn,…,x0x_n,\ldots,x_0（xn≠0x_n\ne0、xn−1≠0x_{n-1}\ne0）を用い、底aaでAn=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0、底bbでBn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0と定める。An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}であることとa>ba>bであることが同値であることを証明せよ。
ステップ 2/5: 全桁について和を取る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一つの前の桁が非零なら全体が厳密になる。

anBn>bnAna^nB_n>b^nA_n
詳しい解説

各不等式にxk≥0x_k\ge0を掛けて和を取る。xn−1≠0x_{n-1}\ne0なのでk=n−1k=n-1の項は厳密であり、和はそれぞれanBna^nB_n、bnAnb^nA_nである。