MathLabs

第2問

a,b,n>1a,b,n>1を整数とし、a,ba,bを二つの記数法の底とする。同じ数字列xn,…,x0x_n,\ldots,x_0（xn≠0x_n\ne0、xn−1≠0x_{n-1}\ne0）を用い、底aaでAn=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0、底bbでBn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0と定める。An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}であることとa>ba>bであることが同値であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 全体の数で正規化する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

先頭の桁が全体に占める割合を比べる。

fracanAn>fracbnBn\\frac{a^n}{A_n}>\\frac{b^n}{B_n}
詳しい解説

すべて正なので不等式anBn>bnAna^nB_n>b^nA_nをAnBnA_nB_nで割り、正規化された先頭桁の割合を比較する。