MathLabs

第2問

a,b,n>1a,b,n>1を整数とし、a,ba,bを二つの記数法の底とする。同じ数字列xn,…,x0x_n,\ldots,x_0（xn≠0x_n\ne0、xn−1≠0x_{n-1}\ne0）を用い、底aaでAn=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0、底bbでBn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0と定める。An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}であることとa>ba>bであることが同値であることを証明せよ。
ステップ 4/5: 切り捨てた比に戻す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

大きい底では先頭桁の割合が大きく、残りの割合が小さくなる。

fracAn−1An=1−fracxnanAn,quadfracBn−1Bn=1−fracxnbnBn\\frac{A_{n-1}}{A_n}=1-\\frac{x_na^n}{A_n},\\quad\\frac{B_{n-1}}{B_n}=1-\\frac{x_nb^n}{B_n}
詳しい解説

An=xnan+An−1A_n=x_na^n+A_{n-1}、Bn=xnbn+Bn−1B_n=x_nb^n+B_{n-1}。xn>0x_n>0を掛けて11から引くと反転し、目的の比を得る。