MathLabs

第2問

a,b,n>1a,b,n>1を整数とし、a,ba,bを二つの記数法の底とする。同じ数字列xn,…,x0x_n,\ldots,x_0（xn≠0x_n\ne0、xn−1≠0x_{n-1}\ne0）を用い、底aaでAn=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0、底bbでBn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0と定める。An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}であることとa>ba>bであることが同値であることを証明せよ。
ステップ 5/5: 同値性を仕上げる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

底の大小の三場合で全てを尽くす。

a=bRightarrowfracAn−1An=fracBn−1Bn;quada<bRightarrowfracAn−1An>fracBn−1Bna=b\\Rightarrow\\frac{A_{n-1}}{A_n}=\\frac{B_{n-1}}{B_n};\\quad a<b\\Rightarrow\\frac{A_{n-1}}{A_n}>\\frac{B_{n-1}}{B_n}
詳しい解説

a=ba=bなら比は等しく、a<ba<bならaaとbbを交換した結果として不等号が逆になる。