MathLabs

第3問

1=a0≤a1≤a2≤⋯1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdotsを満たす実数列を考える。bn=∑k=1n(1−ak−1ak)1akb_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}と定める。(a)すべてのnnで0≤bn<20\le b_n<2を示せ。(b)任意の数bbが0≤b<20\le b<2を満たすとき、bn>bb_n>bとなるnnが無限に存在する数列を構成せよ。
ステップ 1/5: 各項を書き換える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

複雑な分数は幅と高さの積である。

bn=sumk=1n(ak−ak−1)ak−3/2b_n=\\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}
詳しい解説

1−ak−1ak=ak−ak−1ak1-\frac{a_{k-1}}{a_k}=\frac{a_k-a_{k-1}}{a_k}なので、各項は(ak−ak−1)ak−3/2(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}となる。