第3問

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

を満たす実数列を考える。

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

と定める。(a)すべての

n

で

0\le b_n<2

を示せ。(b)任意の数

b

が

0\le b<2

を満たすとき、

b_n>b

となる

n

が無限に存在する数列を構成せよ。

ステップ 2/5: 長方形として解釈する

ざっくり言うと

減少曲線の下の長方形が各項を視覚化する。

[X_k]=(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}

関数

f(x)=x^{-3/2}

の下の右端点長方形6個

詳しい解説

$X_k$ の底辺を $[a_{k-1},a_k]$ 、高さを $a_k^{-3/2}$ とする。 $f(x)=x^{-3/2}$ は減少関数なので長方形 $X_k$ はグラフの下にあり、長方形の内部は重ならない。よって $b_n$ は面積の和である。