第3問

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

を満たす実数列を考える。

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

と定める。(a)すべての

n

で

0\le b_n<2

を示せ。(b)任意の数

b

が

0\le b<2

を満たすとき、

b_n>b

となる

n

が無限に存在する数列を構成せよ。

ステップ 3/5: 積分で上から押さえる

ざっくり言うと

面積和は $2$ に近づくが有限の端点では達しない。

0\\le b_n<\\int_1^{a_n}x^{-3/2}dx=2-\\frac2{\\sqrt{a_n}}<2

詳しい解説

各項は非負である。長方形は $1$ から $a_n$ までの $f$ のグラフ下にあるので面積和は積分より小さい。積分を計算すれば式を得る。