第3問

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

を満たす実数列を考える。

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

と定める。(a)すべての

n

で

0\le b_n<2

を示せ。(b)任意の数

b

が

0\le b<2

を満たすとき、

b_n>b

となる

n

が無限に存在する数列を構成せよ。

ステップ 4/5: 等差数列を選ぶ

ざっくり言うと

等間隔にすると教科書通りのリーマン和になる。

a_k=1+k\\Delta x\\quad(\\Delta x>0)

詳しい解説

$a_k=1+k\Delta x$ とすれば、 $b_n$ は $\int_1^{a_n}x^{-3/2}dx$ の右端点リーマン和になる。端点を固定して $\Delta x\to0^+$ とすれば積分に収束する。