第3問

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

を満たす実数列を考える。

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

と定める。(a)すべての

n

で

0\le b_n<2

を示せ。(b)任意の数

b

が

0\le b<2

を満たすとき、

b_n>b

となる

n

が無限に存在する数列を構成せよ。

ステップ 5/5:

2

未満の任意の目標に達する

ざっくり言うと

区間を伸ばせば面積は $2$ に近づき、細かいメッシュで和が追随する。

\\lim_{n\\to\\infty}\\left(2-\\frac2{\\sqrt{1+n\\Delta x}}\\right)=2

詳しい解説

$\Delta x>0$ を小さく固定すると、 $n\to\infty$ で積分値は $2$ に近づく。目標 $b$ が $b<2$ を満たすとき、まず十分大きい $n$ を取り、和の誤差が小さくなるようにして $b_n>b$ を得る。これが成り立つ $n$ は無限にある。