第4問

集合

\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}

を、各部分の積が等しくなるよう二つの互いに素な集合に分割できる正整数

n

をすべて求めよ。

ステップ 3/4: ウィルソンの定理を使う

ざっくり言うと

積の剰余は法 $7$ で $n$ によらず固定される。

\prod_{j=0}^{5}(n+j)\\equiv6!\\equiv-1\\pmod7

詳しい解説

ウィルソンの定理より $6!\equiv-1\pmod7$ であり、6個の積も $-1$ に法 $7$ で合同である。