第4問

集合

\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}

を、各部分の積が等しくなるよう二つの互いに素な集合に分割できる正整数

n

をすべて求めよ。

ステップ 4/4: 平方剰余を使う

ざっくり言うと

全体積は平方であるはずだが、その剰余は非平方剰余である。

P^2\\equiv-1\\equiv6\\pmod7 is impossible

詳しい解説

等しい積を $P$ とすれば全体積は $P^2$ 。法 $7$ の平方剰余は $0,1,2,4$ だけで、 $6=-1$ はない。矛盾である。