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第5問

四面体 ABCDABCD で ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ とする。DD から平面 ABCABC への垂線の足 HH が △ABC\triangle ABC の3本の高さの交点であるとする。(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2) を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 1/4: 垂心を用いて E を導入する
前のステップ次のステップ
E=CH∩AB,AB⊥ED,BC2−BD2=CE2−DE2E=CH\cap AB,\quad AB\perp ED,\quad BC^2-BD^2=CE^2-DE^2
垂心の構成を示す四面体
面ABCへのDからの垂線と、高さの交点を示す三次元四面体。
詳しい解説

E=CH∩ABE=CH\cap AB とおく。平面 CDE と ABC は垂直で、ABAB はその交線 CECE に垂直だから、AB⊥AB\perp 平面 CDECDE、特に AB⊥EDAB\perp ED である。したがって BD2=DE2+BE2BD^2=DE^2+BE^2、BC2=CE2+BE2BC^2=CE^2+BE^2 であり、BC2−BD2=CE2−DE2BC^2-BD^2=CE^2-DE^2 を得る。