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第5問

四面体 ABCDABCD で ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ とする。DD から平面 ABCABC への垂線の足 HH が △ABC\triangle ABC の3本の高さの交点であるとする。(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2) を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 2/4: 残りの直角を導く
前のステップ次のステップ
BC2=BD2+CD2  ⟹  CE2=DE2+CD2  ⟹  ∠CDE=90∘BC^2=BD^2+CD^2\implies CE^2=DE^2+CD^2\implies \angle CDE=90^\circ
詳しい解説

与えられた BDCBDC は直角なので BC2=BD2+CD2BC^2=BD^2+CD^2。先の等式と比較して CE2=DE2+CD2CE^2=DE^2+CD^2、従って CDECDE は直角である。CDBCDB も直角なので、CDCD は平面 DAB 内の交わる2直線 DBDB、DEDE に垂直であり、CD⊥CD\perp 平面 DAB、従って CDACDA は直角である。同様に ADBADB も直角となる。