MathLabs

第5問

四面体 ABCDABCD で ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ とする。DD から平面 ABCABC への垂線の足 HH が △ABC\triangle ABC の3本の高さの交点であるとする。(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2) を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 3/4: 三つのピタゴラス等式を加える
前のステップ次のステップ
AB2+BC2+CA2=2(AD2+BD2+CD2)AB^2+BC^2+CA^2=2(AD^2+BD^2+CD^2)
詳しい解説

直角 ADBADB, BDCBDC, CDACDA から AB2=AD2+BD2AB^2=AD^2+BD^2、BC2=BD2+CD2BC^2=BD^2+CD^2、CA2=CD2+AD2CA^2=CD^2+AD^2。これらを加えると AB2+BC2+CA2=2(AD2+BD2+CD2)AB^2+BC^2+CA^2=2(AD^2+BD^2+CD^2) となる。