MathLabs

第5問

四面体 ABCDABCD で ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ とする。DD から平面 ABCABC への垂線の足 HH が △ABC\triangle ABC の3本の高さの交点であるとする。(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2) を証明し、等号成立条件を求めよ。
ステップ 4/4: コーシー・シュワルツを適用し等号を調べる
前のステップ次のステップ
(AB+BC+CA)2≤3(AB2+BC2+CA2)=6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le3(AB^2+BC^2+CA^2)=6(AD^2+BD^2+CD^2)
詳しい解説

(AB,BC,CA)(AB,BC,CA) と (1,1,1)(1,1,1) にコーシー・シュワルツを適用すると (AB+BC+CA)2≤3(AB2+BC2+CA2)(AB+BC+CA)^2\le3(AB^2+BC^2+CA^2)。上の恒等式から求める不等式が従う。等号は AB=BC=CAAB=BC=CA、すなわち底面 ABC が正三角形のときに限る。