MathLabs

第6問

平面上に、3点が一直線上にない 100100 個の点がある。これらを頂点とするすべての三角形を考える。そのうち鋭角三角形は 70%70\% 以下であることを証明せよ。
ステップ 2/4: 5点配置を評価する
前のステップ次のステップ
5⋅3=15 acute-triangle incidences in 4-subsets,2A5≤15  ⟹  A5≤75\cdot3=15\text{ acute-triangle incidences in 4-subsets},\quad 2A_5\le15\implies A_5\le7
詳しい解説

5点集合には4点部分集合が5個あり、それぞれ鋭角三角形は高々3個なので出現回数は高々 1515。各三角形はそのような4点集合のちょうど2個に属する。鋭角三角形数を A5A_5 とすれば 2A5≤152A_5\le15、A5A_5 は整数なので A5≤7A_5\le7。