第1問

次の主張が

n=3

および

n=5

で真で、他のすべての自然数

n>2

で偽であることを証明せよ。任意の実数

a_1,a_2,\ldots,a_n

に対して、

(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0

が成り立つ。

ステップ 1/6: 偶数 n をすべて排除する

E_n=\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(a_i-a_j),\qquad a_1<0,\ a_2=\cdots=a_n=0\implies E_n=a_1^{n-1}<0

詳しい解説

式を $E_n=\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(a_i-a_j)$ と書く。 $n$ が偶数なら $a_1<0$ 、 $a_2=\cdots=a_n=0$ と選ぶ。第1項以外は同じゼロの差を含むので消え、 $n-1$ は奇数だから $E_n=a_1^{n-1}<0$ となる。