国際数学オリンピック · 1971年

問題

第1問次の主張が $n=3$ および $n=5$ で真で、他のすべての自然数 $n>2$ で偽であることを証明せよ。任意の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ に対して、 $(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0$ が成り立つ。解答: 1
第2問9個の頂点 $A_1,A_2,\ldots,A_9$ をもつ凸多面体 $P_1$ を考える。 $P_i$ を、 $A_1$ を $A_i$ に移す平行移動による $P_1$ の像とする ( $i=2,3,\ldots,9$ )。 $P_1,P_2,\ldots,P_9$ の少なくとも2つが内部点を共有することを証明せよ。解答: 1
第3問 $2^k-3$ ( $k=2,3,\ldots$ ) の形の整数の集合が、任意の2つの元が互いに素である無限部分集合を含むことを証明せよ。解答: 1
第4問四面体 $ABCD$ のすべての面を鋭角三角形とする。 $X$ は $AB$ の内部、 $Y,Z,T$ はそれぞれ $BC,CD,DA$ の内部にある閉折線 $XYZTX$ を考える。(a) $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$ なら最短長をもつ経路はない。(b) $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$ なら、共通の長さ $2AC\sin(\alpha/2)$ をもつ最短経路が無限個あり、 $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$ であることを証明せよ。解答: 1
第5問任意の自然数 $m$ に対し、平面上の有限集合 $S$ で、 $S$ の各点 $A$ から距離1にある $S$ の点がちょうど $m$ 個となるものが存在することを証明せよ。各点 $A$ はこの性質を満たす。解答: 1
第6問 $A=(a_{ij})$ ( $i,j=1,2,\ldots,n$ ) を非負整数要素の正方行列とする。 $a_{ij}=0$ ならば第 $i$ 行と第 $j$ 列の要素の和が少なくとも $n$ であると仮定する。行列の全要素の和が少なくとも $n^2/2$ であることを証明せよ。解答: 1