MathLabs

第1問

次の主張が n=3n=3 および n=5n=5 で真で、他のすべての自然数 n>2n>2 で偽であることを証明せよ。任意の実数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n に対して、(a1−a2)(a1−a3)⋯(a1−an)+(a2−a1)(a2−a3)⋯(a2−an)+⋯+(an−a1)(an−a2)⋯(an−an−1)≥0(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0 が成り立つ。
ステップ 2/6: 7以上の奇数 n を排除する
前のステップ次のステップ
c>a>b,a1=a, a2=a3=a4=b, a5=⋯=an=c  ⟹  En=(a−b)3(a−c)n−4<0c>a>b,\quad a_1=a,\ a_2=a_3=a_4=b,\ a_5=\cdots=a_n=c\implies E_n=(a-b)^3(a-c)^{n-4}<0
詳しい解説

奇数 n≥7n\ge7 では c>a>bc>a>b を選び、a1=aa_1=a、a2=a3=a4=ba_2=a_3=a_4=b、a5=⋯=an=ca_5=\cdots=a_n=c とする。同じ値があるため第1項以外は消え、En=(a−b)3(a−c)n−4E_n=(a-b)^3(a-c)^{n-4}。n−4n-4 は奇数なので負である。