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第1問

次の主張が n=3n=3 および n=5n=5 で真で、他のすべての自然数 n>2n>2 で偽であることを証明せよ。任意の実数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n に対して、(a1−a2)(a1−a3)⋯(a1−an)+(a2−a1)(a2−a3)⋯(a2−an)+⋯+(an−a1)(an−a2)⋯(an−an−1)≥0(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0 が成り立つ。
ステップ 6/6: 最後の2項をまとめて結論する
(a4−a5)[(a1−a5)(a2−a5)(a3−a5)−(a1−a4)(a2−a4)(a3−a4)]≥0(a_4-a_5)[(a_1-a_5)(a_2-a_5)(a_3-a_5)-(a_1-a_4)(a_2-a_4)(a_3-a_4)]\ge0
詳しい解説

最後の2項の和は表示した式に等しい。a4−a5≥0a_4-a_5\ge0 であり、最初の三因子積の各因子は第二の積の対応因子以上なので、この和は非負である。以上を合わせて E5≥0E_5\ge0。従って主張が成り立つのは n=3n=3 と n=5n=5 だけである。