MathLabs

第2問

9個の頂点 A1,A2,…,A9A_1,A_2,\ldots,A_9 をもつ凸多面体 P1P_1 を考える。PiP_i を、A1A_1 を AiA_i に移す平行移動による P1P_1 の像とする (i=2,3,…,9i=2,3,\ldots,9)。P1,P2,…,P9P_1,P_2,\ldots,P_9 の少なくとも2つが内部点を共有することを証明せよ。
ステップ 2/4: 凸性で和を制御する
前のステップ次のステップ
p,q∈P1  ⟹  p+q2∈P1  ⟹  p+q∈2P1p,q\in P_1\implies \frac{p+q}{2}\in P_1\implies p+q\in2P_1
詳しい解説

任意の p,q∈P1p,q\in P_1 に対して、凸性より (p+q)/2∈P1(p+q)/2\in P_1。従って p+q∈2P1p+q\in2P_1 である。ここで 2P1={2x:x∈P1}2P_1=\{2x:x\in P_1\} は原点中心の倍率 22 の拡大である。ここで P1P_1 を考える。