MathLabs

第2問

9個の頂点 A1,A2,…,A9A_1,A_2,\ldots,A_9 をもつ凸多面体 P1P_1 を考える。PiP_i を、A1A_1 を AiA_i に移す平行移動による P1P_1 の像とする (i=2,3,…,9i=2,3,\ldots,9)。P1,P2,…,P9P_1,P_2,\ldots,P_9 の少なくとも2つが内部点を共有することを証明せよ。
ステップ 3/4: すべての平行移動体を 2P_1 に含める
前のステップ次のステップ
Ai∈P1, x∈P1  ⟹  Ai+x∈2P1  ⟹  Pi⊆2P1A_i\in P_1,\ x\in P_1\implies A_i+x\in2P_1\implies P_i\subseteq2P_1
詳しい解説

各 AiA_i は P1P_1 の頂点なので Ai∈P1A_i\in P_1。任意の x∈P1x\in P_1 について Ai+xA_i+x は P1P_1 の2点の和だから 2P12P_1 に属する。Pi=Ai+P1P_i=A_i+P_1 より、9個すべてで Pi⊆2P1P_i\subseteq2P_1 となる。