第3問

2^k-3

(

k=2,3,\ldots

) の形の整数の集合が、任意の2つの元が互いに素である無限部分集合を含むことを証明せよ。

ステップ 4/5: 新しい項がすべての旧項と互いに素であること

p\mid A_n\text{ and }p\mid A_k\implies p\mid(A_n+2)-A_n=2

詳しい解説

素数 $p$ が $A_n$ と以前の $A_k$ の両方を割ると仮定する。前段より $p$ は $A_n+2$ も割るので、 $p$ はその差 $2$ を割る。しかし $p$ は奇数 $A_k$ の奇素因子だから矛盾。従ってすべての $k<n$ で $\gcd(A_n,A_k)=1$ 。