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第4問

四面体 ABCDABCD のすべての面を鋭角三角形とする。XX は ABAB の内部、Y,Z,TY,Z,T はそれぞれ BC,CD,DABC,CD,DA の内部にある閉折線 XYZTXXYZTX を考える。(a) ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC なら最短長をもつ経路はない。(b) ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC なら、共通の長さ 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2) をもつ最短経路が無限個あり、α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 経路を平面上の線分に展開する
XYZTX⟼XYZTX′XYZTX\longmapsto XYZTX'
詳しい解説

この BCBC、CDCD、AD′AD' の周りに面を順に回転して関係する面を同一平面に置く。経路 XYZTXXYZTX は X∈ABX\in AB とその像 X′∈A′B′X'\in A'B' を結ぶ平面上の連結経路 XYZTX′XYZTX' になる。端点を固定すれば最短は直線分である。