MathLabs

第4問

四面体 ABCDABCD のすべての面を鋭角三角形とする。XX は ABAB の内部、Y,Z,TY,Z,T はそれぞれ BC,CD,DABC,CD,DA の内部にある閉折線 XYZTXXYZTX を考える。(a) ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC なら最短長をもつ経路はない。(b) ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC なら、共通の長さ 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2) をもつ最短経路が無限個あり、α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB であることを証明せよ。
ステップ 2/5: 平行でないコピーには最小値がない
前のステップ次のステップ
CD∦C′D′  ⟹  inf⁡ZZ′=DD′, unattained for Z∈(CD)CD\not\parallel C'D'\implies \inf ZZ'=DD'\text{, unattained for }Z\in(CD)
詳しい解説

BCBC, ABAB, AD′AD' の周りの別の展開では、経路は Z∈(CD)Z\in(CD) と像 Z′∈(C′D′)Z'\in(C'D') を結ぶ線分 ZZ′ZZ' になる。CDCD と C′D′C'D' が平行でないとき、閉じた支持線分間の最短は端点 D,D′D,D' で達成される。しかし ZZ と Z′Z' は内部点でなければならないため、これは Z→DZ\to D の極限にすぎず、許される経路に最小値はない。