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第4問

四面体 ABCDABCD のすべての面を鋭角三角形とする。XX は ABAB の内部、Y,Z,TY,Z,T はそれぞれ BC,CD,DABC,CD,DA の内部にある閉折線 XYZTXXYZTX を考える。(a) ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC なら最短長をもつ経路はない。(b) ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC なら、共通の長さ 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2) をもつ最短経路が無限個あり、α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 平行性と角条件を結びつける
前のステップ次のステップ
CD∥C′D′⟺∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABCCD\parallel C'D'\Longleftrightarrow \angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC
詳しい解説

展開図で CD∥MB∥AN∥PD′CD\parallel MB\parallel AN\parallel PD' となる点 M,N,PM,N,P を取る。これらの平行線に沿って4角を分解して比較すると、与えられた角の等式は ∠C′D′P=0\angle C'D'P=0 に帰着する。従って等式は CD∥C′D′CD\parallel C'D' と同値である。