MathLabs

第4問

四面体 ABCDABCD のすべての面を鋭角三角形とする。XX は ABAB の内部、Y,Z,TY,Z,T はそれぞれ BC,CD,DABC,CD,DA の内部にある閉折線 XYZTXXYZTX を考える。(a) ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC なら最短長をもつ経路はない。(b) ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC なら、共通の長さ 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2) をもつ最短経路が無限個あり、α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB であることを証明せよ。
ステップ 4/5: 無限個の等しい最短経路を得る
前のステップ次のステップ
CD∥C′D′  ⟹  CC′∥ZZ′∥DD′CD\parallel C'D'\implies CC'\parallel ZZ'\parallel DD'
詳しい解説

コピーが平行なら CC′∥ZZ′∥DD′CC'\parallel ZZ'\parallel DD' である。各面が鋭角という仮定により、CDCD の内部点からなる空でない区間の任意の ZZ について、平行線分 ZZ′ZZ' は中間の辺 CBCB, BABA, AD′AD' と交わる。従って同じ最小長をもつ許容経路が無限個ある。