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第4問

四面体 ABCDABCD のすべての面を鋭角三角形とする。XX は ABAB の内部、Y,Z,TY,Z,T はそれぞれ BC,CD,DABC,CD,DA の内部にある閉折線 XYZTXXYZTX を考える。(a) ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC なら最短長をもつ経路はない。(b) ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC なら、共通の長さ 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2) をもつ最短経路が無限個あり、α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB であることを証明せよ。
ステップ 5/5: 共通の長さを計算する
前のステップ次のステップ
CC′=2ACsin⁡(α/2),α=∠BAC+∠CAD+∠DABCC'=2AC\sin(\alpha/2),\qquad \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB
詳しい解説

展開図で A,C,C′A,C,C' は AC=AC′AC=AC' の二等辺三角形をなし、頂点Aの頂角は α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB。AA から底辺 CC′CC' への垂線は底辺を二等分するので、半底辺は ACsin⁡(α/2)AC\sin(\alpha/2)。従って AA から見た各最短経路の長さは ZZ′=CC′=2ACsin⁡(α/2)ZZ'=CC'=2AC\sin(\alpha/2)。