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第5問

任意の自然数 mm に対し、平面上の有限集合 SS で、SS の各点 AA から距離1にある SS の点がちょうど mm 個となるものが存在することを証明せよ。各点 AA はこの性質を満たす。
ステップ 1/6: 問題を正則な単位距離グラフに言い換える
前のステップ次のステップ
S is m-regular  ⟺  #{B∈S:∣A−B∣=1}=m for every A∈SS\text{ is }m\text{-regular}\iff\#\{B\in S:|A-B|=1\}=m\text{ for every }A\in S
詳しい解説

有限集合の2点を、ユークリッド距離が 11 のときだけ辺で結ぶ。求める集合は、すべての頂点の次数が mm である有限単位距離グラフに他ならない。