第3問

任意の非負整数

m

と

n

について、

\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}

が整数であることを証明せよ。(

0!=1

)。

ステップ 4/4: 基底行から帰納する

ざっくり言うと

整数である中心二項係数の行が、整数係数の漸化式で上へ伝わる。

f(m,0)=\binom{2m}{m}\in\mathbb Z

詳しい解説

$n=0$ では $f(m,0)=\binom{2m}{m}$ は整数である。第2引数が $n-1$ の値が整数なら、漸化式から $f(m,n)$ も整数となる。 $n$ に関する帰納法で証明が完了する。