第4問

正の実数

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)

で、

(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\le0

、

(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\le0

、

(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\le0

、

(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\le0

、

(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\le0

を満たすものをすべて求めよ。

ステップ 3/4: 正の因子を約分する

ざっくり言うと

正性により積の等式を変数の等式にできる。

x_1x_2=x_1x_4,\quad x_2x_3=x_2x_5,\quad x_3x_4=x_3x_1,\quad x_4x_5=x_4x_2

詳しい解説

10個の平方はすべて0である。すべての $x_i>0$ なので、表示の等式から $x_2=x_4$ 、 $x_3=x_5$ 、 $x_4=x_1$ 、 $x_5=x_2$ を得る。