MathLabs

第5問

実数値関数 ff と gg がすべての実数 x,yx,y で f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) を満たすとする。すべての x,yx,y でこの式を満たし、ff が恒等的に0でなく、すべての xx で ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1 ならば、すべての yy で ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1 を証明せよ。
ステップ 2/4: 関数方程式を評価する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ式を上限と gg の両方で評価する。

2k≥∣f(x+y)+f(x−y)∣=2∣f(x)∣∣g(y)∣2k\ge|f(x+y)+f(x-y)|=2|f(x)||g(y)|
詳しい解説

三角不等式から 2k≥∣f(x+y)+f(x−y)∣2k\ge|f(x+y)+f(x-y)|。関数方程式により右辺は 2∣f(x)∣∣g(y)∣2|f(x)||g(y)| となる。