第5問

実数値関数

f

と

g

がすべての実数

x,y

で

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)

を満たすとする。すべての

x,y

でこの式を満たし、

f

が恒等的に0でなく、すべての

x

で

|f(x)|\le1

ならば、すべての

y

で

|g(y)|\le1

を証明せよ。

ステップ 3/4: 新しい上界を得る

ざっくり言うと

$|g(y)|$ が大きければ $|f|$ の範囲全体が縮む。

|f(x)|\le\dfrac{k}{|g(y)|}\quad(g(y)\ne0)

詳しい解説

$g(y)=0$ なら明らかである。そうでなければ割り算により全ての $x$ で $|f(x)|\le k/|g(y)|$ 、従って $k/|g(y)|$ は $|f|$ の上界である。