第5問

実数値関数

f

と

g

がすべての実数

x,y

で

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)

を満たすとする。すべての

x,y

でこの式を満たし、

f

が恒等的に0でなく、すべての

x

で

|f(x)|\le1

ならば、すべての

y

で

|g(y)|\le1

を証明せよ。

ステップ 4/4: 上限の最小性を使う

ざっくり言うと

$|g(y)|>1$ は $k$ の定義に反する。

k\le\dfrac{k}{|g(y)|}\Longrightarrow |g(y)|\le1

詳しい解説

最小上界の性質から $k\le k/|g(y)|$ 。 $k>0$ なので $|g(y)|\le1$ 。 $y$ は任意で、すべての $y$ で結論が得られる。