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第1問

点 OO は直線 ll 上にある。ベクトル OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} は単位ベクトルで、点 PiP_i と直線 ll は同一平面内にあり、すべての PiP_i は ll が定める同じ半平面にある。nn が奇数のとき、∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1 を証明せよ。
ステップ 2/4: 方向を並べる
ざっくり言うと

両端の方向を除くと奇数本の中央部分が残る。

n=2m+1n=2m+1
詳しい解説

共通の半平面内で角度順に並べる。u=OP1→+OPn→u=\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_n}、v=∑i=2n−1OPi→v=\sum_{i=2}^{n-1}\overrightarrow{OP_i} とおく。中央部分は n−2=2m−1n-2=2m-1 本である。