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第1問

点 OO は直線 ll 上にある。ベクトル OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} は単位ベクトルで、点 PiP_i と直線 ll は同一平面内にあり、すべての PiP_i は ll が定める同じ半平面にある。nn が奇数のとき、∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1 を証明せよ。
ステップ 3/4: 二等分線の評価
ざっくり言うと

二等分線は中央の全ベクトルから離れず、その方向を向く。

u⋅v≥0u\cdot v\ge 0
詳しい解説

uu の方向は両端の方向の二等分線である。中央の各ベクトルの方向は両端の方向の間にあり、その開きは高々 180∘180^\circ なので、各ベクトルと uu のなす角は高々 90∘90^\circ である。従って各内積は uu との内積として非負であり、u⋅v≥0u\cdot v\ge0 を得る。u=0u=0 の場合も同じ不等式は明らかである。