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第1問

点 OO は直線 ll 上にある。ベクトル OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} は単位ベクトルで、点 PiP_i と直線 ll は同一平面内にあり、すべての PiP_i は ll が定める同じ半平面にある。nn が奇数のとき、∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1 を証明せよ。
ステップ 4/4: 帰納法を完了する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

両端の組を加えても、十分大きい中央和は短くならない。

∣u+v∣2=∣u∣2+2u⋅v+∣v∣2≥∣v∣2≥1|u+v|^2=|u|^2+2u\cdot v+|v|^2\ge|v|^2\ge1
詳しい解説

中央部分の個数は奇数なので帰納法より ∣v∣≥1|v|\ge1。上の恒等式から ∣u+v∣≥∣v∣≥1|u+v|\ge|v|\ge1 が得られ、結論となる。