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第3問

実数 a,ba,b に対し、方程式 x4+ax3+bx2+ax+1=0x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 が少なくとも一つの実根を持つとき、a2+b2a^2+b^2 の最小値を求めよ。
ステップ 2/5: 根の条件に直す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

実数 x+1/xx+1/x は区間 (−2,2)(-2,2) の外側にある。

y±=−a±a2+8−4b2,max⁡(∣y+∣,∣y−∣)≥2y_\pm=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+8-4b}}2,\quad \max(|y_+|,|y_-|)\ge2
詳しい解説

もとの多項式が実根をもつので、yy に関する二次方程式は実根をもつ。実数 x≠0x\ne0 では y=x+1/xy=x+1/x が ∣y∣≥2|y|\ge2 を満たすため、表示した二根の少なくとも一つは絶対値が 22 以上でなければならない。