MathLabs

第3問

実数 a,ba,b に対し、方程式 x4+ax3+bx2+ax+1=0x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 が少なくとも一つの実根を持つとき、a2+b2a^2+b^2 の最小値を求めよ。
ステップ 3/5: 実根でパラメータ表示する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

(a,b)(a,b) に誤解を招く線形条件を課すのではなく、実際の yy の値を用いて bb を aa と yy で表す。

b=2−y2−ay,a2+b2=a2+(2−y2−ay)2b=2-y^2-ay,\quad a^2+b^2=a^2+(2-y^2-ay)^2
詳しい解説

方程式 y2+ay+b−2=0y^2+ay+b-2=0 は b=2−y2−ayb=2-y^2-ay と同値である。従って、∣y∣≥2|y|\ge2 を満たす対応する実数 yy をもつ任意の実行可能な (a,b)(a,b) に対し、目的式は表示した式になる。