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第3問

実数 a,ba,b に対し、方程式 x4+ax3+bx2+ax+1=0x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 が少なくとも一つの実根を持つとき、a2+b2a^2+b^2 の最小値を求めよ。
ステップ 4/5: aa について、次に ∣y∣≥2|y|\ge2 について最適化する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

可能な根の値 yy ごとにまず係数 aa を最適化し、残った一変数式が境界 ∣y∣=2|y|=2 で最小になることを示す。

a=y(2−y2)1+y2,b=2−y21+y2,a2+b2=(y2−2)21+y2≥45a=\frac{y(2-y^2)}{1+y^2},\quad b=\frac{2-y^2}{1+y^2},\quad a^2+b^2=\frac{(y^2-2)^2}{1+y^2}\ge\frac45
詳しい解説

yy を固定して a2+(2−y2−ay)2a^2+(2-y^2-ay)^2 を最小化すると、a=y(2−y2)/(1+y2)a=y(2-y^2)/(1+y^2)、b=(2−y2)/(1+y2)b=(2-y^2)/(1+y^2) を得る。代入すると表示の値になる。t=y2≥4t=y^2\ge4 とおくと、関数 (t−2)2/(t+1)(t-2)^2/(t+1) は t≥4t\ge4 で増加するので、(4−2)2/5=4/5(4-2)^2/5=4/5 以上である。