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第4問

兵士が正三角形の地域の地雷を調べる。探知機の作用半径は三角形の高さの半分で、兵士は一つの頂点から出発する。全域を調べる最短経路を求めよ。
ステップ 4/4: 長さと被覆
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この折れ線に沿う探知円板が三角形領域を覆う。

L=72−34=27−34L=\frac{\sqrt7}{2}-\frac{\sqrt3}{4}=\frac{2\sqrt7-\sqrt3}{4}
詳しい解説

XCXC 上で CY=rCY=r となる点を YY とする。このとき XY=XC−rXY=XC-r なので、経路 A→X→YA\to X\to Y の長さは AX+XC−r=LAX+XC-r=L である。半径 rr の二つの線分の近傍は三角形全体を覆う。すなわち、対応する欠けた頂点までの距離 rr は XB=CY=rXB=CY=r 以下で、残りの境界も二つの線分の間にある。従ってこの経路で全域を調べられ、B,CB,C を入れ替えた対称経路も同じ長さである。