MathLabs

第5問

GG を、実数係数 a,ba,b を用いる非定数アフィン関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R（f(x)=ax+bf(x)=ax+b、a≠0a\ne0）の集合とする。f,g∈Gf,g\in G なら g∘f∈Gg\circ f\in G、各 f∈Gf\in G の逆関数 f−1f^{-1} も GG に属し、各 f∈Gf\in G は不動点をもつと仮定する。すべての関数を固定する k∈Rk\in\mathbb R が存在することを証明せよ。
ステップ 2/4: 同じ傾きなら同じ切片
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平行移動は移動量が零の場合にしか不動点を持たない。

f(x)=ax+b,g(x)=ax+b′f(x)=ax+b, g(x)=ax+b\prime
詳しい解説

同じ非零傾き aa をもつ二つの写像について、f−1∘gf^{-1}\circ g は平行移動 x↦x+(b′−b)/ax\mapsto x+(b\prime-b)/a である。これは GG に属し不動点をもつので移動量は零、従って b′=bb\prime=b である。