MathLabs

第5問

GG を、実数係数 a,ba,b を用いる非定数アフィン関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R（f(x)=ax+bf(x)=ax+b、a≠0a\ne0）の集合とする。f,g∈Gf,g\in G なら g∘f∈Gg\circ f\in G、各 f∈Gf\in G の逆関数 f−1f^{-1} も GG に属し、各 f∈Gf\in G は不動点をもつと仮定する。すべての関数を固定する k∈Rk\in\mathbb R が存在することを証明せよ。
ステップ 3/4: 二つの合成を比較する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

群の演算により二つの合成順序を比較できる。

f∘g(x)=acx+ad+b,g∘f(x)=acx+bc+df\circ g(x)=acx+ad+b, g\circ f(x)=acx+bc+d
詳しい解説

両合成は GG に属し傾きが等しいので、前段より定数項が等しく、ad+b=bc+dad+b=bc+d。