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第5問

GG を、実数係数 a,ba,b を用いる非定数アフィン関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R（f(x)=ax+bf(x)=ax+b、a≠0a\ne0）の集合とする。f,g∈Gf,g\in G なら g∘f∈Gg\circ f\in G、各 f∈Gf\in G の逆関数 f−1f^{-1} も GG に属し、各 f∈Gf\in G は不動点をもつと仮定する。すべての関数を固定する k∈Rk\in\mathbb R が存在することを証明せよ。
ステップ 4/4: 共通不動点
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

不動点の公式が一致して全ての元の共通点を定める。

b1−a=d1−c\frac{b}{1-a}=\frac{d}{1-c}
詳しい解説

整理すると b(1−c)=d(1−a)b(1-c)=d(1-a) となる。両方が恒等写像でなければ、不動点 b/(1−a)b/(1-a) と d/(1−c)d/(1-c) は等しい。一方が恒等写像なら他方の不動点を選び、両方が恒等写像なら任意の kk がよい。従って各組は共通不動点をもち、非恒等写像が一つでもあればその不動点が GG 全体の共通不動点となる。