MathLabs

第6問

正数 a1,…,ana_1,\ldots,a_n と 0<q<10<q<1 が与えられる。 (1) 全ての b1,…,bnb_1,\ldots,b_n で ak<bka_k<b_k、(2) kk で q<bk+1/bk<1/qq<b_{k+1}/b_k<1/q、(3) k=1,…,n−1k=1,\ldots,n-1 を満たす実数 ∑k=1nbk<1+q1−q∑k=1nak\sum_{k=1}^n b_k<\frac{1+q}{1-q}\sum_{k=1}^n a_k を求めよ。
ステップ 3/4: 全体を評価する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

有限核和由无限幾何核控制。

∑r=1nbr=∑i=1nai∑r=1nq∣r−i∣\sum_{r=1}^n b_r=\sum_{i=1}^n a_i\sum_{r=1}^n q^{|r-i|}
詳しい解説

有限和を交換する。各 ii の内側の和は、有限区間が正の項をいくつか欠くため、両側幾何和 ∑j∈Zq∣j∣=(1+q)/(1−q)\sum_{j\in\mathbb Z}q^{|j|}=(1+q)/(1-q) より厳密に小さい。