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第2問

三角形 ABCABC において、辺 ABAB 上に点 DD が存在して CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均になるのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2} が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。
ステップ 1/6: 点 DD の方べき
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ざっくり言うと

代数的な条件 DC2=DA⋅DBDC^2=DA\cdot DB を純粋に幾何学的な条件 DC=DEDC=DE に置き換えることで、長さの計算ではなく、固定された弦上での点の位置について考えられるようになる。

DA⋅DB=DC⋅DEDA\cdot DB = DC\cdot DE
詳しい解説

DD を辺 ABAB 上の任意の点とし、直線 CDCD を延長して △ABC\triangle ABC の外接円と再び点 EE で交わらせる。DD で交わる2本の弦 ABAB と CECE に対する交弦定理(方べきの定理)より DA⋅DB=DC⋅DEDA\cdot DB = DC\cdot DE が成り立つ。したがって CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均である、すなわち DC2=DA⋅DBDC^2=DA\cdot DB であることは、ちょうど DC=DEDC=DE であることと同値である。