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第2問

三角形 ABCABC において、辺 ABAB 上に点 DD が存在して CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均になるのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2} が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。
ステップ 4/6: 高さの比較を面積の比較に変える
前のステップ次のステップ
CF≤MN ⟺ 12CF⋅AB≤12MN⋅AB ⟺ [ABC]≤[MAB]CF\le MN\ \Longleftrightarrow\ \tfrac12CF\cdot AB\le \tfrac12MN\cdot AB\ \Longleftrightarrow\ [ABC]\le[MAB]
詳しい解説

CF≤MNCF\le MN の両辺に 12AB\tfrac12AB を掛け、高さの比較を面積の比較に変える。CFCF と MNMN はそれぞれ共通の底辺 ABAB に対する CC と MM からの高さなので、これは [ABC]≤[MAB][ABC]\le[MAB] を意味する。