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第2問

三角形 ABCABC において、辺 ABAB 上に点 DD が存在して CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均になるのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2} が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。
ステップ 5/6: 両方の面積を外接円の半径で表す
前のステップ次のステップ
[ABC]=AB⋅BC⋅CA4R,∠MAB=∠MCB=C2 ⇒ MA=2Rsin⁡C2,[MAB]=AB⋅MA24R[ABC]=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R},\quad \angle MAB=\angle MCB=\frac{C}{2}\ \Rightarrow\ MA=2R\sin\frac{C}{2},\quad [MAB]=\frac{AB\cdot MA^2}{4R}
詳しい解説

△ABC\triangle ABC の外接円の半径を RR とする(MM も同じ円上にあるので △MAB\triangle MAB の外接円半径でもある)。標準公式より [ABC]=AB⋅BC⋅CA4R[ABC]=\dfrac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}。MM は弧 ABAB の中点なので CC からの内角二等分線上にあり、円周角の定理より ∠MAB=∠MCB=C2\angle MAB=\angle MCB=\tfrac{C}{2} となる。この円周角に対する弦の長さは MA=2Rsin⁡C2MA=2R\sin\frac{C}{2} である。△MAB\triangle MAB は MA=MBMA=MB の二等辺三角形なので、同じ面積公式を適用すると [MAB]=AB⋅MA⋅MB4R=AB⋅MA24R[MAB]=\dfrac{AB\cdot MA\cdot MB}{4R}=\dfrac{AB\cdot MA^2}{4R} を得る。