MathLabs

第2問

三角形 ABCABC において、辺 ABAB 上に点 DD が存在して CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均になるのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2} が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。
ステップ 6/6: 正弦定理で同値性を完成させる
前のステップ次のステップ
BC=2Rsin⁡A, AC=2Rsin⁡B ⇒ (2Rsin⁡A)(2Rsin⁡B)≤(2Rsin⁡C2)2⇔sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2BC=2R\sin A,\ AC=2R\sin B\ \Rightarrow\ (2R\sin A)(2R\sin B)\le(2R\sin\tfrac{C}{2})^2 \Leftrightarrow \sin A\sin B\le\sin^2\tfrac{C}{2}
詳しい解説

正弦定理より BC=2Rsin⁡ABC=2R\sin A、AC=2Rsin⁡BAC=2R\sin B である。これらと MA=2Rsin⁡C2MA=2R\sin\frac{C}{2} を手順4–5の BC⋅AC≤MA2BC\cdot AC\le MA^2 に代入し、共通因子 (2R)2(2R)^2 を消去すると、ちょうど sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2} が得られる。以上のすべての手順は逆にたどることができるので、線分 ABAB 上に CD2=AD⋅DBCD^2=AD\cdot DB を満たす点 DD が存在するのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2} のとき、かつそのときに限る。